北京石油化工学院2024年专升本《应用数学基础》考试大纲

　　一、考试性质

　　“高职升本科”考试是为选拔北京市高等职业教育应届优秀毕业生进入本科学习所组织的选拔性考试。

　　二、考试科目

　　《应用数学基础》

　　三、适用专业

　　本课程考试适用于报考《计算机科学与技术》、《电气工程及其自动化》、《生物制药》、《制药工程》、《环境工程》等专业的考生。

　　四、考试目的

　　本次考试的目的主要是测试考生在高职或相当于高职阶段的学习中是否具有本科学习的能力。是否了解或理解一元微积分各个部分的基本概念和基本理论，是否掌握了各种基本方法和基本运算，是否具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力以及应用一元微积分基本知识分析并解决简单的实际问题的能力。

　　五、考试内容

　　根据应用数学基础课程大纲的要求，并考虑高职高专教育的教学实际，特制定本课程考试内容。

　　1.函数、极限和连续

　　1.1函数

　　1.1.1 知识范围

　　(1)函数的概念

　　函数的定义，函数的表示法，分段函数。

　　(2)函数的性质

　　单调性、奇偶性、有界性、周期性。

　　(3)反函数

　　反函数的定义，反函数的图像。

　　(4)基本初等函数

　　幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

　　(5)函数的四则运算与复合运算。

　　(6)初等函数。

　　1.1.2 要求

　　(1)理解函数的概念，会求函数的表达式及定义域，会求分段函数的定义域及函数值，了解描绘简单的分段函数的图像。

　　(2)理解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。

　　(3)掌握函数的四则运算与复合运算。

　　(4)熟练掌握基本初等函数的性质及其图像。

　　(5)了解初等函数的概念。

　　(6)会建立简单实际问题的函数关系式。

　　1.2 极限

　　1.2.1 知识范围

　　(1)数列极限的概念

　　数列、数列极限的定义。

　　(2)数列极限的性质

　　唯一性、有界性。

　　(3)函数极限的概念

　　自变量趋于有限值时函数的极限，左、右极限及其与极限的关系，自变量趋于无穷大时函数的极限，函数极限的性质。

　　(4)无穷小与无穷大

　　无穷小与无穷大的定义，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质，无穷小的比较。

　　(5)极限的运算法则。

　　(6)极限存在准则，两个重要极限。

　　1.2.2 要求

　　(1)理解极限的概念。会求函数在一点处的左右极限。

　　(2)熟练掌握极限的四则运算法则。

　　(3)理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的性质，无穷小与无穷大的关系，会运用等价无穷小代换求极限。

　　(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

　　1.3 连续

　　1.3.1 知识范围

　　(1)函数连续的概念

　　函数在一点处连续的定义，左连续与右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类，函数在区间上连续的概念。

　　(2)连续函数的运算

　　连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，基本初等函数和初等函数的连续性。

　　(3)闭区间上连续函数的性质

　　有界性定理，最大值与最小值定理，介值定理(包括零点定理)。

　　(4)初等函数的连续性。

　　1.3.2 要求

　　(1)理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限的关系，掌握判断函数(含分段函数)在一点处的连续性的方法。

　　(2)会求函数的间断点并确定其类型。

　　(3)掌握闭区间上连续函数的性质。

　　(4)理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限。

　　2.微分学及其应用

　　2.1 导数与微分

　　2.1.1 知识范围

　　(1)导数的概念

　　导数的定义，导数的几何意义与物理意义，可导与连续的关系。

　　(2)求导法则与导数的基本公式

　　函数的和、差、积、商的求导法则，反函数的求导法则，复合函数的求导法则，常数和基本初等函数的求导公式。

　　(3)求导方法

　　用导数的定义求导，隐函数的求导法，由参数方程确定的函数的求导法，对数求导法。

　　(4)高阶导数

　　高阶导数的定义、高阶导数的计算。

　　(5)微分

　　微分的定义，微分的几何意义，可微与可导的关系，基本初等函数微分公式与微分运算法则，微分的计算与应用。

　　2.1.2 要求

　　(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义求函数在一点处的导数的方法。

　　(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

　　(3)熟练掌握导数的基本公式及四则运算法则和复合函数的求导方法。

　　(4)掌握隐函数求导方法，由参数方程所确定的函数的求导方法。

　　(5)理解高阶导数的概念，会求显函数的二阶导数。

　　(6)理解函数微分的概念，了解可微与可导的关系，会求函数的微分。

　　2.2 导数的应用

　　2.2.1 知识范围

　　(1)微分中值定理。

　　(2)洛必达(L’Hospital)法则。

　　(3)麦克劳林(Maclaurin)公式和泰勒(Taylor)公式。

　　(4)函数的单调性，曲线的凹凸性与拐点。

　　(5)函数的极值与极值点，最大值与最小值。

　　(6)函数图形的描绘。

　　2.2.2 要求

　　(1)理解微分中值定理。

　　(1)熟练掌握用洛必达法则求未定式的极限的方法。

　　(2)掌握利用导数判定函数单调性的方法。

　　(3)理解函数极值的概念，掌握求函数的极值，最大值与最小值的方法，掌握简单的极值应用问题的求解。

　　(4)掌握曲线凹凸性的判别方法，会求曲线的拐点。

　　(5)了解函数图形的描绘。

　　3.积分学及其应用

　　3.1 不定积分

　　3.1.1 知识范围

　　(1)不定积分的概念

　　原函数与不定积分的定义、原函数存在定理。

　　(2)基本积分公式、不定积分的性质。

　　(3)不定积分的第一(第二)类换元积分法，不定积分的分部积分法。

　　(4)简单有理函数的积分。

　　3.1.2 要求

　　(1)理解原函数与不定积分的概念，原函数存在定理。

　　(2)掌握基本积分公式、不定积分的性质。

　　(3)熟练掌握不定积分第一(第二)类换元积分法。

　　(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。

　　3.2 定积分

　　3.2.1 知识范围

　　(1)定积分的概念

　　定积分的定义及其几何意义，定积分存在的充分和必要条件。

　　(2)定积分的性质。

　　(3)定积分的计算

　　积分上限的函数及其导数，牛顿(Newton)—莱布尼兹(Leibniz)公式，换元积分法，分部积分法。

　　(4)定积分的应用

　　定积分的元素法，平面图形的面积，旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体的体积，定积分在物理上的简单应用。

　　(5)无穷限的反常积分和无界函数的反常积分。

　　3.2.2 要求

　　(1)理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件。

　　(2)掌握定积分的基本性质。

　　(3)会求积分上限的函数的导数，熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式。

　　(4)熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

　　(5)了解定积分元素法的思想，会计算平面图形的面积、旋转体的体积，了解平行截面面积为已知的立体的体积计算方法。

　　(6)了解无穷限和无界函数的反常积分的概念及其计算方法。

　　六、考试方式及试卷结构

　　考试方式为闭卷笔试考试，笔试时间为120分钟，试卷满分为100分。

　　试卷结构如下：

　　七、参考书目

　　参考书目：《高等数学》(上册)同济大学(七版)高等教育出版社 2014年7月出版