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2021专升本

2020遵义师范学院专升本数学与应用数学专业考试科目大纲

2020-07-24 11:12:56 来源: 库课网校 阅读: 488 编辑: 王老师

摘要:要求考生全面、系统地掌握高等代数的基本概念、基本定理、典型方法和若干应用实例,并且能灵活运用所学知识阐述解决实际问题的方法和途径。

  一、 考试总体要求

  要求考生全面、系统地掌握高等代数的基本概念、基本定理、典型方法和若干应用实例,并且能灵活运用所学知识阐述解决实际问题的方法和途径。

  二、考试科目

  《高等代数》

       三、考试形式

  闭卷、笔试、满分 150 分、考试时限 150 分钟。

       四、考试内容

  本课程选用的教材是由高等教育出版社出版的张禾瑞, 郝炳新编写的《高等代数》(第五版)。考试内容所含知识点,知识点的所属层次及各章节知识点参考下表。

  高等代数考试内容及基本要求

 

 

 

知 识 点

层次要求

了解

理解

掌握

应用

 

第一章

 

 

基本概念

§1.1 集合

集合的概念、关系、运算




§1.2 映射

映射、单射、满射、双射、逆映射




§1.3 数学归纳法

最小数原理、第一数学归纳法

 




 

§1.4 整数的整除性质

整除的定义、带余除法




素数、合数




最大公因数






§1.5 数环与数域

数环




数域




 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第二章一元多项式

§2.1 一元多项式的定义和运算

一元多项式的定义,数域P 上的多项式相等,多项式的加法、减法、乘法及

其运算律




 

§2.2 整除的概念

带余除法,整除的概念及其基本性质




 

 

 

§2.3 最大公因式

公因式、最大公因式、两个多项式互素。


 



最大公因式的求法;最大公因式的性质、两个多项式互素的充要条件性质、两个多项式互素的充要条件。




 

 

 

§2.4 多项式的分解

不可约多项式的概念和性




因式分解及唯一性定理;

标准分解式




§2.5 重因式

重因式的概念及其性质; 多项式有无重因式的判别



 


 

 

§2.6 多项式函数 多项式的根

余数定理;多项式的根的重根;根的个数定理



 


重根与重因式的关系,重根判别法


 



综合除法,拉格朗日插值公式

 




 

 

§2.7 复系数与实系数多项式的因式分解

代数基本定理,复系数多项式因式分解定理,复系

数多项式标准分解式


 



实函数多项式的非实复根共轭成对,奇(偶数)实系数多项式的实根个 数,实系数多项式因式分

解定理


 

 



§2. 8 有理系数多项式

有理系数多项式与整系数

多项式的关系、本原多项式、高斯引理


 






非零的整系数多项式在有理数域上可约的性质。


 



整系数多项式有理根的求法,有理系数多项式无理

根共轭成对。


 



艾森斯坦因判别法,一些无理数的证明方法

 




 

 

 

 

 

第三章

 

 

行列式

§3.1 线性方程组及行

列式

线性方程组的解与行列式的关系


 



§3.2 排列

排列及其逆序数、奇偶性,

对换改变排列的奇偶性




§3.3 n 阶行列式

行列式的定义




基本性质




§3.4 子式和代数余子式 行列式的依行依列

展开

矩阵及其初等变换与行列计算的关系




将行列式化为三角形行列




子式、余子式、代数余子式,主要公式




 

§3.5 克拉默规则

解系数行列式不为零的线性方程组




第四章

 

 

线性方程组

§4.1 消元

消元法的基本思想、线性方程组的初等变换与矩阵

的初等变换



 


§4.2 矩阵的秩 线性方程组有解

的判别法

矩阵的秩的定义、用初等变换求矩阵的秩、线性方程组有解的判别法




 

§4.3. 线性方程组的公式解

线性方程组的公式解、齐次线性方程组及其非零解的概念、齐次线性方程组

有非零解的条件



 


第五章

 

 

 

§5.1 矩阵的运算

加法、数乘以及运算律;

转置




定义及其运算律;矩阵乘

积的行列式与秩




§5.2 可逆

矩阵 矩阵

定义;可逆的条件;矩阵

的求法;可逆矩阵的性质





乘积的行列式

初等矩阵定义及性质;初等矩阵与矩阵初等变换的关系;初等变换求逆;初

等变换解矩阵方程



 


§5.3 矩阵

的分块

分块运算;一些可逆矩阵

分块求逆




 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第六章向量空间

§6.1

定义和例子

 

向量空间概念与性质


 



 

§6.2

子空间

向量空间的子空间




交子空间、和子空间




子空间的判定定理




 

§6.3 向量的线性相关性

向量的线性组合




线性相关、线性无关




极大线性无关组




向量组的等价




 

§6.4

基和维数

向量空间的基、维数




向量空间的维数公式




余子空间




§6.5

坐 标

向量由基的表示式、坐标




过渡矩阵、坐标变换公式




§6.6 向量空间的同构

向量空间之间的同构映射




向量空间同构的充要条件




§6.7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间

矩阵的行空间、列空间




行(列)空间的维数与矩

阵的秩




齐次线性方程的解空间




基础解系、解空间的结构




第七章

 

 

线性变

§7.1

线性映射

两个向量空间的线性映射




映射的像 Im( s )与核




 

§7.2

线性变换的运算

向量空间到自身的线性变




线性变换的和、数乘线性变换




线性变换的乘积、逆线性





 

§7.3

线性变换和矩阵

线性变换在一个基下的矩阵、矩阵确定的线性变换、线性变换的运算与相应的矩阵运算、同一个线性变

换在不同基下矩阵的关系



 

 


 

§7.4

不变子空间

子空间的不变性、像不变子空间、核不变子空间、不变子空间与线性变换的

对角化之间的关系


 



§7.5

本证值和本证向量

线性变换的特征值与特征向量,矩阵的特征多项式、特征根与特征向量




 

§7.6 可以对角化的矩阵

 

线性变换可以对角化的充分必要条件



 


第八章

 

氏空间

§8.1

向量的内积

 

内积、欧氏空间的概念


 



 

 

§8.2

正交基

标准正交基、正交矩阵的定义




向量的正交性、正交向量组、正交基、标准正交基、施密特正交化方法、正交

矩阵




 

§8.3

正交变换

正交变换的概念和性质, 正交变换的四个等价条件




§8.4

对称变换和对称矩阵

对称变换、对称矩阵




对称变换的对角化问题、实对称矩阵的特征值问题




 

 

第九章

 

 

二次型

 

§9.1

二次型和对称矩阵

二次型概念




矩阵表示;非退化线性替换;矩阵合同的定义与性质;二次型等价与矩阵合

同的关系



 


 

§9.2

复数域和实数域上的二次型

二次型可经非退化线性替

换化成平方和的形式




二次型的标准形定义及其

求法




复二次型的规范形,实二次型的规范形、惯性定理






 

 

§9.3

正定二次型

正定矩阵




实二次型(实对称矩阵)

正定的性质与判别方法




正交变换化实二次型为标

准形






  五、试卷结构

  试卷题型分为填空、选择(单项)、判断、计算、证明, 小题总量在 26—32 个之间,试卷总分为 150 分。小题数在题型中的分配参考下表:

2020遵义师范学院专升本数学与应用数学专业考试科目大纲

  六、参考教材

  1. 张禾瑞、郝炳新《高等代数》第五版 高等教育出版社

  2. 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》(第二版)


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