2019年萍乡学院专升本高等数学考试大纲

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　　一、考试内容及分数分布

　　第一章 极限(约15%)

　　考试内容：函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，反函数、复合函数和隐函数。基本初等函数的性质及其图形;数列极限与函数极限的定义、性质，函数的左、右极限;无穷小无穷大及无穷小的比较;极限的四则运算，极限存在的两个准则，单调有界准则和夹逼准及两个重要极限。

　　函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理和介值定理)。

　　考试要求:

　　1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

　　2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

　　3.理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

　　4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

　　5.会建立简单应用问题中的函数关系式。

　　6.理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

　　7.掌握极限的性质及四则运算法则。

　　8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

　　9.理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。

　　10.理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。

　　11.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。

　　第二章 一元函数微分学(约20%)

　　考试内容:导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义。函数的可导性与连续性之间的关系。平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，反函数、复合函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数的概念，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用。

　　导数的应用：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西(CAUCHY)中值定理、泰勒定理;洛必达法则;函数的极值及其求法，函数增减性和函数图形的凹凸性的判定。函数最大值和最小值的求法。

　　考试要求:

　　1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

　　2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性。

　　3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

　　4.会求分段函数的一阶、二阶导数。

　　5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

　　6.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。

　　7.了解并会用柯西中值定理。

　　8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

　　9.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

　　第三章 一元函数积分学(约20%)

　　考试内容:原函数和不定积分的概念、不定积分的基本性质、基本积分公式、定积分的概念和性质、定积分中值定理、变上限定积分及其导数牛顿一莱布尼茨公式、不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法、简单有理函数、三角函数的有理式和简单元理函数的积分、广义积分的概念及其计算，定积分的应用。

　　考试要求:

　　1.理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念，理解定积分中值定理。

　　2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及换元积分法与分部积分法。

　　3.会求简单有理函数、三角函数有理式及简单元理函数的积分。

　　4.理解变上限定积分是其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式。

　　5.了解广义积分的概念并会计算广义积分。

　　6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等)。

　　第四章 二元函数微分学(约15%)

　　考试内容:空间解析几何：向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，两向量垂直和平行的条件、两向量的夹角、向量的坐标表达式及其运算单位、向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程及其求法 平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角点到平面和点到直线的距离，球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形。

　　多元函数微分学：多元函数的概念、极限、连续;复合函数、隐函数的求导法、二阶偏导数;多元函数极值和条件极值的概念、二元函数极值的充分条件、极值的求法、多元函数的最值及其简单应用。

　　考试要求:

　　1. 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

　　2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，了解两个向量垂直、平行的条件。

　　3.掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。

　　4.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

　　5.理解多元函数的概念。

　　6.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。

　　7.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。

　　8.掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法、隐函数的偏导数。

　　9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

　　第五章 多元函数积分学(约10%)

　　考试内容:二重积分的计算和应用，二重积分的性质

　　考试要求:

　　1.理解二重积分概念，了解重积分的性质、二重积分的中值定理。

　　2.掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法。

　　3.会用重积分，求一些几何量与物理量。

　　第六章 无穷级数(约10%)

　　考试内容：常数项级数的收敛与发散的概念、级数的基本性质、正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法;交错级数的莱布尼茨定理;绝对收敛与条件收敛;函数项级数的收敛域与和函数的概念、幂级数的收敛半径、收敛区间(指开区间)、幂级数在其收敛区间内的基本性质、简单幂级数的和函数的求法、初等函数的泰勒展式、麦克劳林(Maclaurin)展式。

　　考试要求：

　　1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

　　2.会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

　　3.会用交错级数的莱布尼茨定理。

　　4.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

　　5. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

　　6.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区问内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

　　7.掌握一些函数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

　　第七章 常微分方程(约10%)

　　考试内容：常微分方程的基本概念、微分方程的解、通解、初始条件和特解，变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、线性微分方程解的性质及解的结构定理、二阶常系数齐次线性微分方程、简单的二阶常系数非齐次线性微分方程、微分方程的简单应用问题。

　　考试要求：

　　1.了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。

　　2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法及齐次方程解法。

　　3.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

　　4.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

　　5.会用微分方程解决一些简单的应用问题。

　　二、教材：《高等数学》(上)，高等教育出版社，刘鹏林主编;

　　参考书：《高等数学》(上、下)，北京师范大学出版社，彭友花等编。

　　三、考试题型及比例

　　填空题：20%;

　　选择题：20%;

　　解答题(包括证明题)：60%。

　　来源：萍乡学院教务处